Donald Knuth developed Tex because he was dissatisfied with the way the math in his books was being typeset. He wanted to make a typesetting application that would be easy to use and would work across multiple operating systems. He ended up with an application that writes a set of interlinked text files, readable in any text editor in any operating system. The output can be sent to any screen or printer that understands the PDF command set. For an author this had the added benefit that the produced file could not be changed without the author's knowledge. PDF files were often acceptable to printing shops in the 1970s and 1980s, a time when most word processing formats were not acceptable.
Donald Knuth a développé TeX parce qu’il était insatisfait de la façon dont les mathématiques dans ses livres y ont été rendues. Il voulait faire une application de composition qui serait facile à utiliser et fonctionnerait sur plusieurs systèmes d’exploitation. Il a fini avec une application qui écrit un ensemble de fichiers texte interconnectés, lisible dans n’importe quel éditeur de texte dans n’importe quel système d’exploitation. La sortie peut être envoyée à n’importe quel écran ou imprimante qui comprend le jeu de commandes PDF. Pour un auteur, cela avait un avantage supplémentaire : le fichier produit ne pouvait pas être modifié sans qu'il le sache. Les fichiers PDF étaient souvent acceptés par les imprimeries dans les années 1970 et 1980, une époque où la plupart des formats de traitement de texte n’étaient pas acceptés.
Because of this history Latex / Tex has a comprehensive set of methods and tools to display mathematical expressions. In this issue we are going to explore some of them. If you use TexStudio or a similar IDE you will probably be able to duplicate what you see here and expand on it. There is an inline math method. It uses dollar signs to wrap around the math expression. A simple example is: $x^{2}+y^{2}=1 $. And there is what is called the display mode \[ x^{2}+y^{2}=1 \] The display mode surrounds the math expression with backslash and square brackets. The expression is centered on a line of its own.
C’est pour cette raison que LaTeX/Tex a un ensemble complet de méthodes et d’outils pour afficher des expressions mathématiques. Dans ce numéro, nous allons explorer certains d’entre eux. Si vous utilisez TexStudio ou un IDE similaire, vous pourrez probablement recopier ce que vous voyez ici et vous en inspirer.
Il y a une méthode mathématique en ligne. Elle utilise le signe du dollar pour entourer l’expression mathématique. Un exemple simple est : $x^{2}+y {2}=1 $. Et il y a ce qu’on appelle le mode d’affichage \[ x^{2}+y^{2}=1 \] Le mode d’affichage entoure l’expression mathématique avec des antislashs et des crochets. L’expression est centrée sur une ligne qui lui est propre.
In TexStudio there is also a Latex inline math mode. It uses backslash with parentheses (round brackets) to surround the math expression. A simple example is: \(x^{2}+y^{2}=1 \). It does exactly the same thing as the inline method using square brackets. To make the expression a little more complicated without your eyes glazing over if you regard mathematics as evil I will set up the formula for determining the length of the hypotenuse of a right-angle triangle (do you remember Pythagoras from school?). To calculate the length of the hypotenuse use the following formula: $ c = \sqrt{a^{2}+b^{2}} $ That was not so bad. Now let's try the formula for finding the roots of a quadratic equation. (Again you probably saw this on the board in school.) To find the roots of a quadratic equation first put it into standard form:
Dans TexStudio il y a aussi un mode mathématique en ligne LaTeX. Il utilise des antislashs avec des parenthèses (crochets ronds) pour entourer l’expression mathématique. Un exemple simple est : \(x {2}+y {2}=1 \). Il fait exactement la même chose que la méthode en ligne en utilisant des crochets.
Pour rendre l’expression un peu plus compliquée sans que vos yeux se voilent si vous considérez les mathématiques diaboliques, je vais mettre en place la formule pour déterminer la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle (vous souvenez-vous de Pythagore ?).
Pour calculer la longueur de l’hypoténuse, utilisez la formule suivante :
$ c = \sqrt{a^{2}+b^{2}} $
Ce n’était pas si difficile. Essayons maintenant la formule pour trouver les racines d’une équation quadratique. (Encore une fois, vous avez probablement vu cela à l'école.) Pour trouver les racines d’une équation quadratique commencer par la mettre dans la forme standard :
$f(x) = ax^{2}+bx+c$ Then use the following formula substituting in the values of $a, b, c$: $x = \frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ I hope you can see the text around this equation is normal but the equation is reduced to fit into one text line. That reduction makes it hard to read. Let's use the display math mode. Then use the following formula substituting in the values of a, b, c: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \]. The instructions for typesetting are in the same order used when writing the formula by hand. • Make a fraction • numerator $ -b \pm $ • square root • b-squared - 4ac • denominator 2a With the manual method in mind look at the code needed to make this simple formula. \frac{numerator}{denominator} sets up a fraction \sqrt{} puts the square root sign over whatever is inside its curly braces. \pm inserts the plus-minus sign
$f(x) = ax^{2}+bx+c$
Puis utilisez la formule suivante en remplaçant les valeurs de $a, b, c$ :
$x = \frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
J’espère que vous pouvez voir que le texte autour de cette équation est normal, mais l’équation est réduite pour tenir dans une ligne de texte. Cette réduction rend la lecture difficile. Utilisons le mode d’affichage mathématique.
Utilisez ensuite la formule suivante en remplaçant les valeurs de a, b, c :
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \].
Les instructions pour la composition sont dans le même ordre que celui utilisé lors de l’écriture de la formule à la main. ••Faire une fraction ••numérateur $ -b pm $ ••racine carrée ••b au carré - 4ac ••dénominateur 2a
En gardant à l’esprit la méthode manuelle, regardez le code nécessaire pour faire cette formule simple. \frac{numerator}{denominator} met en place une fraction \sqrt{} met le signe de la racine carrée sur ce qui est à l’intérieur de ses accolades \pm insère le signe plus-moins
Let's get a little more complicated and introduce some trigonometric functions. For example, here is the Pythagorean identity [ \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1 \] This can be used to find the sine of an angle. [ \sin\theta = \pm \sqrt{1- \cos\theta}\] Because both of these expressions take up only a single line they could use the inline math method without much loss of legibility. $ \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1 $. Normally the lowercase theta is used to represent angular distance. In other applications an uppercase theta is needed. To get an uppercase theta simply make theta start with an uppercase T: $ \Theta $. (Note theta is part of the math environment in Latex / Tex. It must have either dollar signs or backslash - square brackets before and after it even when it is a single character.) This method of getting an uppercase Greek letter by using an uppercase letter to start the letter name works with Greek letters in general.
Les choses vont se compliquer quand on introduit quelques fonctions trigonométriques. Par exemple, voici l’identité pythagoricienne:
[ \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1 \]
Cela peut être utilisé pour trouver le sinus d’un angle.
[ \sin\theta = \pm \sqrt{1- \cos\theta}\]
Parce que ces deux expressions ne prennent chacune qu’une seule ligne, elles pourraient utiliser la méthode mathématique en ligne sans perte de lisibilité. $ \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1 \ $. Normalement, le thêta minuscule est utilisé pour représenter la distance angulaire. Dans d’autres applications, un thêta majuscule est nécessaire. Pour obtenir un thêta majuscule, il suffit de faire commencer le thêta par un T majuscule : $ \Theta $. (Notez que le thêta fait partie de l’environnement mathématique dans LaTeX/TeX. Il doit avoir des signes du dollar ou un antislash - crochets avant et après, même s’il s’agit d’un seul caractère.) Cette méthode d’obtenir une lettre grecque majuscule en utilisant une lettre majuscule pour commencer le nom de la lettre fonctionne avec les lettres grecques en général.
We can move from trigonometry to calculus with a short explanation of differentiation. The derivative of a function will yield the slope of the line graph generated by the function. The derivative can be expressed as $ \frac{dy}{dx} $ or more commonly as $ f'(x) $. The general equation for a derivative is \[ f'(x) = \stackrel{\lim}{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \] Solving this expression using $ f(x) = x^{2} $ Generates the following equation. $\stackrel{\lim}{h\rightarrow0} = 2x + h $. When h = 0 then f'(x) = 2x. This answer should not surprise you if you have done this much math at school. Here is a simple example of the use of math typesetting. This is a problem I set for my college students. If a processor has a speed (frequency) of 2.2GHz how long does one processing cycle take? In mathematical terms (or physics terms if you prefer) if f=2.2GHz how long is one processing cycle, 1~Hz? One way to solve the problem is to set up a proportion (a pair of equal ratios) and solve for the unknown.
Nous pouvons passer de la trigonométrie au calcul avec une brève explication de la différenciation.
Le dérivé d’une fonction donnera la pente du graphique linéaire généré par la fonction. Le dérivé peut être exprimé en $ \frac{dy}{dx} $ ou plus communément en $ f'(x) $. L’équation générale pour un dérivé est
\[ f'(x) = \stackrel{\lim}{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Résoudre cette expression en utilisant $ f(x) = x^{2} $ donne l’équation suivante :
$\stackrel{\lim}{h\rightarrow0} = 2x + h $.
Quand h = 0 alors f'(x) = 2x. Cette réponse ne devrait pas vous surprendre si vous avez fait autant de mathématiques à l’école.
Voici un exemple simple de l’utilisation de la composition mathématique. C’est un problème que je pose à mes étudiants à la fac. Si un processeur a une vitesse (fréquence) de 2,2 GHz, combien de temps dure un cycle de traitement ? En termes mathématiques (ou en termes physiques si vous préférez) si f=2,2 GHz, quelle est la durée d’un cycle de traitement, 1~Hz ? Une façon de résoudre le problème est de mettre en place une proportion (une paire de ratios égaux) et de résoudre pour l’inconnu.
As we all should know, 2.2GHz=2.2*10^{9} cycles per second. \[\frac{2.2*10^{9}~cycles}{second}=\frac{1~cycle}{x~second}\] \[2.2*10^{9}x~cycle-sec= 1~cycle-sec \] \[x = \frac{1}{2.2*10^{9}}\] \[x=0.454545…*10^{-9}~seconds\] In common computer terms, 1 processing cycle takes 454.5 picoseconds, less than half a nanosecond. Above is the Latex code for this little calculation. Figure 5 shows the result in a Latex-generated PDF. Here is what it looks like in LibreOffice. I hope you enjoyed or at least endured this short visit to the math facilities of Latex. Next time we will explore how to use Latex in chemistry class.
Comme nous devrions tous le savoir, 2,2 GHz = 2,2*10^{9} cycles par seconde.
\[\frac{2.2*10^{9}~cycles}{second}=\frac{1~cycle}{x~second}\]
\[2.2*10^{9}x~cycle-sec= 1~cycle-sec \]
\[x = \frac{1}{2.2*10^{9}}\]
\[x=0.454545…*10^{-9}~seconds\]
En termes informatiques courants, un cycle de traitement prend 454,5 picosecondes, moins d’une nanoseconde.
Ci-dessus le code LaTeX pour ce petit calcul. La figure 5 montre le résultat dans un PDF généré par LaTeX. Voici à quoi il ressemble dans LibreOffice.
J’espère que vous avez apprécié ou du moins enduré cette courte visite des fonctionnalités mathématiques de LaTeX. La prochaine fois, nous explorerons comment utiliser le LaTeX en cours de chimie.